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Pearson 상관 계수의 경우: H : ρ = 0 대 H 1: ρ ≠ 0, 여기서 ρ는 변수 쌍 사이의 상관 계수입니다. 작은 p-값은 귀무 가설이 거짓임을 나타냅니다. 상관 계수가 0이 아니고 선형 관계가 존재한다는 결론을 내릴 수 있습니다.


#통계학개론 12-1 #상관분석(1) #상관계수의개요 #공분산[자막]
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상관에 대한 방법 및 공식 – Minitab

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정의[편집]

모집단의 경우[편집]

결정계수[편집]

컴퓨팅 계산[편집]

같이 보기[편집]

참고[편집]

피어슨 상관 계수 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전
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피어슨 상관 계수(Pearson Correlation Coefficient)

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피어슨 상관 계수(Pearson Correlation Coefficient) 본문

피어슨 상관 계수(Pearson Correlation Coefficient)
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4. 상관계수 정리

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서로 다른 상관 계수 값 (ρ)을 갖는 산포도 다이어그램의 예

x 와 y 의 상관 계수. 상관 관계는 선형 관계의 비선형성 및 방향을 반영하지만 그 관계의 기울기 또는 비선형 관계의 여러 측면을 반영하지 않는다. NB : 중앙의 그림은 기울기가 0이지만이 경우 Y 의 분산이 0이므로 상관 계수가 정의되지 않는다. 여러 데이터셋와 각 셋의의 상관 계수. 상관 관계는 선형 관계의 비선형성 및 방향을 반영하지만 그 관계의 기울기 또는 비선형 관계의 여러 측면을 반영하지 않는다. NB : 중앙의 그림은 기울기가 0이지만이 경우의 분산이 0이므로 상관 계수가 정의되지 않는다.

정의 [ 편집 ]

표본(sample) 피어슨 상관 계수는 등간척도(간격척도)나 비례척도(비율척도)의 데이타에서 두 변수의 공분산(covariance) 을 각각의 표준 편차의 곱으로 나눈 값이다.

피 어 슨 상 관 계 수 = 공 분 산 표 준 편 차 ⋅ 표 준 편 차 {\displaystyle {\text{피 어 슨 상 관 계 수 }}={{\text{공 분 산 }} \over {{\text{표 준 편 차 }}\cdot {\text{표 준 편 차 }}}}} r X Y = ∑ i n ( X i − X ¯ ) ( Y i − Y ¯ ) n − 1 ∑ i n ( X i − X ¯ ) 2 n − 1 ∑ i n ( Y i − Y ¯ ) 2 n − 1 {\displaystyle r_{XY}={{{\sum _{i}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)} \over {n-1}} \over {{\sqrt {{\sum _{i}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}} \over {n-1}}}{\sqrt {{\sum _{i}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}} \over {n-1}}}}}}

따라서

r X Y = ∑ i n ( X i − X ¯ ) ( Y i − Y ¯ ) ∑ i n ( X i − X ¯ ) 2 ∑ i n ( Y i − Y ¯ ) 2 {\displaystyle r_{XY}={{\sum _{i}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)} \over {{\sqrt {\sum _{i}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}}}{\sqrt {\sum _{i}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}}}}}}

모집단의 경우 [ 편집 ]

피어슨의 상관 계수는 모집단에 적용될 때 일반적으로 ρ (그리스문자,로)로 표시되며 모집단 상관 계수 또는 모집단 피어슨 상관 계수라고 할 수 있다.

결정계수 [ 편집 ]

피어슨의 상관 계수를 제곱해줌으로써 결정계수를 얻을수있다.

표본 피어슨의 상관 계수 r {\displaystyle r} r 2 {\displaystyle r^{2}} 모집단 피어슨의 상관 계수 ρ {\displaystyle \rho } ρ 2 {\displaystyle \rho ^{2}}

컴퓨팅 계산 [ 편집 ]

컴퓨팅 프로그램에서 일반적인 상관관계 분석 함수로서 피어슨 상관계수가 사용되며 스프레드 시트에서는 Correl()함수를 사용할 수 있다.[1] SPSS 및 PSPP에서는 이변량 상관분석(bivariate analysis 또는 bivariate correlation analysis)등에서 보편적으로 이용된다.

같이 보기 [ 편집 ]

피어슨 상관 계수(Pearson Correlation Coefficient)

$\bullet$ (피어슨)상관 계수는 두 변수가 서로 (선형)상관관계를 가지는지 확인하는 척도이다.

$\bullet$ 1이나 -1에 가까우면 상관관계가 있다 보고 0이면 없다고 본다.

$\bullet$ $[-1,1]$을 벗어나지 않는다.

다음과 같이 정의된 $\rho = \rho (X,Y)$ 를 피어스 상관계수(pearson correlation coefficient)라고 한다.

$$\rho = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}=\dfrac{\sigma_{XY}}{\sigma_X\sigma_Y},\;\;\;\;\; -1 \leq \rho \leq 1$$

$Cov(X,Y)$를 $X$와 $Y$의 공분산(covariance)라 한다.

$Cov(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=E(XY)-\mu_X \mu_Y$

$E(XY) = \mu_X \mu_Y + \rho \sigma_X \sigma_Y$

$X$와 $Y$가 독립이면 상관계수는 0이된다.

하지만 상관계수가 0이라고 $X$와 $Y$가 독립인것은 아니다.

$\rho$를 정의한 식에 대해 알아보자

$\mu_X = E(X),\;\; =\mu_Y=E(Y),\;\;\; \sigma_X^2=E[(X-\mu_X)^2],\;\;\;\sigma_Y^2=E[(Y-\mu_Y)^2]$

(a) $u(X,Y) = (X-\mu_X)(Y-\mu_Y)$ 라 두면

$$E[u(X,Y)]=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=\sigma_{XY}=Cov(X,Y)$$

를 $X$와 $Y$의 공분산(covariance)라 한다.

(b) 표준편차 $\sigma_X, \sigma_Y>0$이라면

$$\rho = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}=\dfrac{\sigma_{XY}}{\sigma_X \sigma_Y}$$

를 $X$와 $Y$의 상관계수라 한다.

$X$의 평균(mean)과 분산(variance)는 결합 pmf(or pdf) 혹은 주변 pmf(or pdf)를 이용해서 푼다.

ex) 이산형의 경우

$$\begin{align*}

\mu_X = E(X) & = \sum_X \sum_Y x f(x,y)\\

&=\sum_x x \left[ \sum_y f(x,y) \right] = \sum_x x f_X(x)

\end{align*}$$

공분산(Covariance)의 계산에는 joint pmf(or pdf)가 필요하다

공분산 $E[u(x,y)]$와 상관계수 $\rho = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$의 의미를 살펴보기전 2가지 유용한 식을 유도한다.

1)

$$\begin{align*}

Cov(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]&=E(XY – \mu_X Y -\mu_Y X + \mu_X \mu_Y)\\

&=E(XY)-\mu_XE(Y)-\mu_YE(X)+\mu_X \mu_Y\\

&=E(XY) – \mu_X \mu_Y – \mu_X \mu_Y + \mu_X \mu_Y \\

&= E(XY) – \mu_X \mu_Y

\end{align*}$$

2)

$$\rho = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \dfrac{E(XY) – \mu_X \mu_Y}{\sigma_X \sigma_Y}$$

$$E(XY) = \mu_X \mu_Y + \rho \sigma_X \sigma_Y$$

즉, 두 확률변수의 곱의 기댓값은 각 확률변수들의 평균(mean)과 편차(deviation)를 통해서 구할 수 있다.

예제 4.2-1 펼치기 예제 4.2-1 접기 예제 4.2-1 접기

두 확률변수 $X$와 $Y$의 상관계수(Correlation Coefficient)$\rho$에 대해 알아보자.

1) $\rho$의 부호

$$\rho = \dfrac{\sum_X\sum_Y(x-\mu_X)(y-\mu_Y)f(x,y)}{\sigma_X \sigma_Y}$$

$\bullet$ 분모는 항상 양수이다.

$\bullet$ $0 \leq f(x,y)\leq 1$ 이다.

$\therefore$ $\rho$의 부호를 결정하는 것은 $x$와 $y$, $\mu_X$, $\mu_Y$이다.

$\rho>0$ $\rho <0$ $\rho=0$ $x$가 $\mu_X$보다 크고 $y$가 $\mu_Y$보다 큰 혹은 $x$가 $\mu_X$보다 작고 $y$가 $\mu_Y$보다 작은 $(x,y)$쌍이 아주 많을 경우 $x$가 $\mu_X$보다 크고 $y$가 $\mu_Y$보다 작은 혹은 $x$가 $\mu_X$보다 작고 $y$가 $\mu_Y$보다 큰 $(x,y)$쌍이 아주 많을 경우 모든 $(x,y)$쌍에 대해 $x= \mu_X$그리고 $y=\mu_Y$일 경우 혹은 모든 항의 합이 0이 될 경우 2) $-1 \leq \rho \leq 1$ 우선 임의의 $(x,y)$쌍들을 그래프 위에 그려보겠다. 수많은 점들의 분포를 일반식으로 간단하게 표현할수는 없다 그렇기에 모든 점들을 근사적으로 표현할 수 있는 직선방정식을 찾도록 한다. 이 방정식을 만드는 기준은 i) $(\mu_X \mu_Y)$를 지난다. ii) 모든 점으로부터의 거리의 평균값이 최소가 되는 기울기 $b$를 가진다. 위 조건을 만족하는 직선 방정식을 적으면 $y=\mu_Y + b(x-\mu_X)$ 이제 ii) 조건에 맞는 $b$를 구하면 된다. 임의의 점 $(x_0,y_0)$에서 직선 방정식 까지의 거리는 $|y_0 - \mu_Y - b(x_0 - \mu_X)|$이다. 이 거리를 제곱한 값들의 평균을 취한 식을 $K(b)$로 지칭한다. $$E\{[(Y - \mu_Y)-b(X - \mu_X)]^2\}=k(b)$$ 최소제곱원리로 $K(b)$를 최소로 하는 $b$값을 찾는다. $$\begin{align*} K(b) &=E[(Y-\mu_Y)^2-2b(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)+b^2(X-\mu_X)^2]\\ &=\sigma_Y^2 - 2b \rho \sigma_X \sigma_Y + b^2 \sigma_X^2 \end{align*}$$ 를 $b$로 편미분하여 $0$으로 놓고 $b$를 구한다 $$K'(b) = -2 \rho \sigma_X \sigma_Y + 2b \sigma_X^2=0\\ b = \rho \dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}$$ $K(b)$는 최고차항의 계수가 양수인 $b$에 관한 2차식인데다가 $K''(b) = 2\sigma_X^2 > 0$이므로 위의 $b$는 $K(b)$를 최소로 만드는 식임을 알 수 있다.

따라서 최량 적합 직선(the line of best fit)의 형태인 최소 제곱 회귀 직선(least squares regression line)은

$Y = \mu_Y = \rho \dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}(X – \mu_X)$

가 된다.

여기서 $\rho$의 값에 따라 기울기가 결정된다.

또한 $K(b)$는 제곱의 기댓값이므로 모든 $b$에 대해서 음수가 아니어야 한다. 따라서 최소값도 양수이므로

$$\begin{align*}

K \left( \rho \dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X} \right) &= \sigma_Y^2 – 2\rho \dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}\rho \sigma_X \sigma_Y + \left( \rho \dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}\right)^2 \sigma_X^2\\

&=\sigma_Y^2 -2\rho^2\sigma_Y^2 + \rho^2 \sigma_Y^2 = \sigma_Y^2(1 – \rho^2) \geq 0

\end{align*} $$

그러므로 $-1 \leq \rho \leq 1$이 된다.

예제 4.2.2 펼치기

예제 4.2.2 접기 예제 4.2.2 접기

$X$와 $Y$가 독립이면 상관계수는 0이된다.

하지만 상관계수가 0이라고 $X$와 $Y$가 독립인것은 아니다.

아래 예로 확인해보자

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피어슨 상관 계수 (Pearson Correlation Coefficient)

상관계수(correlation coefficient)란 두 변수가 어떤 상관 관계를 가지는가?를 의미하는 수치다.

+1은 완벽한 양의 선형 상관 관계, 0은 선형 상관 관계 없음, -1은 완벽한 음의 선형 상관 관계를 의미한다.

https://otexts.com/fppkr/graphics-scatterplots.html

X와 Y 사이의 피어슨 상관 계수를 구하는 식은 다음과 같다

\\[r_{XY} = \frac{ \sum^n_i (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) }{ \sqrt{\sum^n_i (X_i – \bar{X})^2} \sqrt{\sum^n_i (Y_i – \bar{Y})^2} } \\]

여기서 X, Y는 vector인데

식을 조금 들여다보면 결국 다음과 같은 과정이다.

1. 각 vector의 표본평균\\(\bar{A}\\)를 구해서 A의 0이 아닌 각 원소에 빼주어 normalization하고,

2. normalized 된 vector들 사이의 cosine similarity를 계산한다.

피어슨 상관 계수는 다양한 상황에서 쓰이지만,

normalized된 cosine similarity를 계산하는 것이기 때문에 피어슨 상관 계수를 similarity로도 해석할 수 있다.

피어슨 상관 계수가 similarity로 쓰이는 예로는 추천 시스템이 있다.

추천 시스템에서 collaborative filtering 방식을 사용할 때는 User-user 간, 또는 Item-item 간 similarity를 계산해야 한다.

이 때 피어슨 상관 계수를 similarity로 사용하게 된다.

유저 A와 비슷하게 영화를 평가한 유저를 찾기 위해서 user A와 나머지 유저들의 similarity를 계산하려고 한다.

movie 1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 user A 4 5 1 user B 5 5 4 …

( 평가하지 않은 항목은 0으로 집계되기 때문에 cosine similarity를 사용하게 되면 미평가 항목이 곧 안좋게 평가한 항목과 동일하게 간주된다는 문제가 있어 피어슨 상관 계수를 사용한다.)

피어슨 상관 계수를 계산해보면

\\(\bar{A} = \frac{4+5+1}{3} = \frac{10}{3} \\) \\(\bar{B} = \frac{14}{3} \\)

\\(A – \bar{A} = [\frac{2}{3}, 0, 0, \frac{5}{3}, -\frac{7}{3}, 0, 0]\\)

\\(B – \bar{B} = [\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, 0, 0, 0, 0]\\)

이제 이 둘의 cosine similarity를 계산하면 피어슨 상관 계수가 되고, 이는 곧 sim(A, B)가 된다.

\\(sim(A, B) = 0.092\\)

상관계수를 구할 때 주의할 점

상관계수(correlation coefficient)는 선형관계의 강도만 측정하기에, 종종 오해로 이어질 수 있습니다.

아래 그래프는 모두 0.82의 상관계수를 갖습니다만, 나타나는 관계는 아주 다릅니다. 이를 통해 상관계수값에만 의존하지 말고 데이터를 그려서 살펴보는 것이 얼마나 중요한지 알 수 있습니다.

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